CF1264E Beautiful League 题解

CF1264E

你有一张竞赛图，给你竞赛图中 \(m\) 条边的方向，让你对于没有给定的边确定方向使得整张图的三元环个数最多

\(n \leq 50, m \leq \frac{(n-1)n}{2}\)

• 费用流好题

• 三元环是一个非常难考虑的东西，我们考虑求他的补集：不是三元环的个数最少

• 我们发现不是三元环的情况是存在 \((u,x), (u,y)\) 两条边

• 因此我们可以得到整张图中不是三元环的计算方法：

• \[\sum_{i=1}^n \binom{out_i}{2} \]

• 其中 \(out_i\) 为 \(i\) 点的出度

• 现在的问题变为：有一个数组 \(out_i\)，你可以执行 \(\frac{n(n-1)}{2} - m\) 次操作，形如从选择 \(out_u\) 或 \(out_v\) 进行 \(+1\) 操作，最小化上述式子

• 如果最终要求的式子形如 \(\sum out_i\) 的话固然是一个费用流的板子，但是这并不是

• 我们考虑 \(+1\) 后对答案产生的贡献，我们发现 \(+1\) 后答案增加了 \(out_i\)，因此我们有一个连边方案：

• 

• 如图，我们从超级源点连向 \(\frac{n(n-1)}{2} -m\) 个点流量为 \(1\)，费用为 \(0\) 的边表示操作数量，第 \(i\) 个操作对应的点连向 \(u\) 和 \(v\) 一条流量为 \(1\)，费用为 \(0\) 的边表示这次操作选择 \(u\) 或 \(v\)

• 而最神奇的操作在于从每一个节点连向超级汇点流量为 \(1\)，费用为 \(out_i \sim n\) 的边

• 可以发现，每当某个节点的流量 \(+1\)，费用就会增加 \(out_i\)

• 最终复杂度 \(O(n^6m)\)，虽然看起来很大，但是这个上界是远远取不到的，可以通过