CF1264E Beautiful League 题解

CF1264E

你有一张竞赛图，给你竞赛图中 $m$ 条边的方向，让你对于没有给定的边确定方向使得整张图的三元环个数最多

$n \leq 50, m \leq \frac{(n - 1) n}{2}$

费用流好题
三元环是一个非常难考虑的东西，我们考虑求他的补集：不是三元环的个数最少
我们发现不是三元环的情况是存在 $(u, x), (u, y)$ 两条边
因此我们可以得到整张图中不是三元环的计算方法：
$\sum_{i = 1}^{n} (\binom{o u t_{i}}{2})$
其中 $o u t_{i}$ 为 $i$ 点的出度
现在的问题变为：有一个数组 $o u t_{i}$ ，你可以执行 $\frac{n (n - 1)}{2} - m$ 次操作，形如从选择 $o u t_{u}$ 或 $o u t_{v}$ 进行 $+ 1$ 操作，最小化上述式子
如果最终要求的式子形如 $\sum o u t_{i}$ 的话固然是一个费用流的板子，但是这并不是
我们考虑 $+ 1$ 后对答案产生的贡献，我们发现 $+ 1$ 后答案增加了 $o u t_{i}$ ，因此我们有一个连边方案：
如图，我们从超级源点连向 $\frac{n (n - 1)}{2} - m$ 个点流量为 $1$ ，费用为 $0$ 的边表示操作数量，第 $i$ 个操作对应的点连向 $u$ 和 $v$ 一条流量为 $1$ ，费用为 $0$ 的边表示这次操作选择 $u$ 或 $v$
而最神奇的操作在于从每一个节点连向超级汇点流量为 $1$ ，费用为 $o u t_{i} \sim n$ 的边
可以发现，每当某个节点的流量 $+ 1$ ，费用就会增加 $o u t_{i}$
最终复杂度 $O (n^{6} m)$ ，虽然看起来很大，但是这个上界是远远取不到的，可以通过