CF1654E Arithmetic Operations 题解

CF1654E

• 给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$。
• 问至少需要修改几个数才能使得 $a$ 变为一个等差数列。
• $n\le {10}^5$，$1\le a_i\le {10}^5$。

• 我们可以发现值域 $\le {10}^5$ 实属可疑，我们可以就这点进行分析

• 考虑对于序列的公差 $d$，如果 $d$ 太大的话经过若干轮就会超过原数的值域，之后的所有数都一定会被修改

• 因此我们可以对 $d$ 进行根号分治

  • 当 $d\le \sqrt{n}$ 时，我们设当前从 $a_i$ 开始，那么有 $a_0=a_i-i\times d$，那我们可以枚举 $d$ 和 $i$， 把 $a_0$ 放到桶中求众数

  • 当 $d>\sqrt{n}$ 时，原序列中的数 $\le \sqrt{n}$ 个。我们枚举首项 $a_i$，则有 $a_i-i\times d=a_j-j\times d$，移向整理得 $d=\frac{a_i-a_j}{i-j}$，那么我们就枚举首项 $a_i$ 和向后枚举 $\sqrt{n}$ 个数，求 $\frac{a_i-a_j}{i-j}$ 的众数即可

• 最终复杂度 $O(n\sqrt{n})$