CF1515F Phoenix and Earthquake 题解

CF1515F

给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的无向连通图和正整数 $x$，点有非负权值 $a_i$。

如果一条边 $(u,v)$ 满足 $a_u+a_v\ge x$，可以将 $u,v$ 缩起来，新点的点权为 $a_u+a_v-x$。

判断这张图是否可以缩成一个点。如果是，还要输出每次缩的是哪条边。

$2\le n\le 3\cdot {10}^5,n-1\le m\le 3\cdot {10}^5,1\le x\le {10}^9,0\le a_i\le {10}^9$

• 先说结论，如果 $\sum a_i<x(n-1)$ 一定无解，否则一定有解

• 证明如下：

• 如果 $\sum a_i<x(n-1)$ 无解显然，而对于 $\sum a_i\ge x(n-1)$ 的情况分两种情况讨论：

  • 如果存在值 $\ge x$ 的点，那以他向外的任意一条边可开辟一条道路，把道路相连的两个点合并成一个点

  • 如果不存在值 $\ge x$ 的点，那么所有节点值的最小值为 $\frac{x(n-1)}{n}$，那么此时任意选两个节点的和一定 $\ge x$，任意选两个有道路相连的节点合并即可

• 实现可以类似 Prim 跑最小生成树，最终复杂度 $O(n\log n)$