CF1508C Complete the MST 题解
CF1508C
给定一个有 \(n\) 个节点的完全图，其中 \(m\) 条边有给定的边权，剩下的没有给定。
你需要给所有没有给定边权的边赋上非负整数边权，使得所有边的边权的异或和等于 \(0\)。
我们认为这个图的“丑陋值”为这个图的最小生成树的边权之和，求所有可能的赋值方案中，“丑陋值”的最小值。
\(2\leq n\leq2\times10^5;0\leq m\leq\min(2\times10^5,\dfrac{n\times(n-1)}{2}-1)\)。至少有一条边是没有给定边权的。
对于第 \(i\) 条给定边权的边，若用 \(u_i,v_i,w_i\) 表示所连接的两个节点和边权，则 \(1\leq u_i,v_i\leq n;u_i\not=v_i;1\leq w_i<2^{30};\) 不会有边在输入中出现多次。
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我们可以把给定的边分为 \(3\) 类
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一定会加入 MST 的边
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一定不会加入 MST 的边
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可能加入 MST 的边
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显然的，我们可以只选择一条边为整张图边权的异或值，而剩下的边都为 \(0\)，这一定是最优的
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关键在于选择哪条边作为有值的边
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如果说除去给定的边外的边构成了一个环，那么我们只需要选择这个环上的任意一条边作为有值的边即可
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否则此时给定的边一定在原图中非常密集，换句话说就是 \(n\) 会很小，大概在 \(\sqrt m\) 量级
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此时我们考虑用 \(1,2\) 类边构成的环来代替这条边，只需要把一二种边加入并查集，对没给定的边判断是否在同一个联通块内
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最终复杂度 \(O(n \log n)\)
