CF908G New Year and Original Order 题解

CF908C

定义 $S(n)$ 为将 $n$ 所有数位从小到大排序后得到的数，求 $\sum _{i=1}^{n}S(i)$

$1\le n\le {10}^{700}$

• 看到这个题大部分人都会奔着数位 $dp$ 的地方想

• 但这个题的难度在于插入一个数后不好算贡献

• 其实也挺好算的

• $dp$ 维护当前若干数字排完序的贡献，转移有三种情况

  • 选择更小的数字：在高位插入，没有贡献。

  • 选择更大的数字：在低位插入，贡献为 $\times 10$

  • 选择当前数字：在中间位插入，贡献不确定，继续递推

• 最终复杂度 $O({\log }_{10}^{2}n)$