CF1209E2 Rotate Columns (hard version) 题解

CF1209E2

给定 $n\times m$ 的矩阵，可以对每一列进行若干次循环移位，求操作完成后每一
行的最大值之和的最大值。

$1\le n\le 12,1\le m\le 2000$

• 这里 $m$ 很大，但有一个很重要的性质

• 这 $m$ 列中只有最大的前 $n$ 个会对答案产生贡献

• 因此我们直接就把 $m$ 削到了 $\le 12$ 的范围

• 这么小，当然可以状压啦

• 设 $d{p}_{i,S}$ 表示考虑了前 $i$ 列数，集合 $S$ 中的行的最大值已经确定，集合 $S$ 中的最大值之和

• 可以得到转移：

• $$d{p}_{i,S}\leftarrow d{p}_{i-1,T}+\sum _{j\in S,j\notin T}{a}_{(j+\mathrm{\Delta })\mathrm{mod}n,i}$$

• 总复杂度为 $O(n{3}^n)$

• 这题的关键就在于，也许这么算的最大值会比真实答案要小，但正是因为原题要求最大值，我们可以直接忽略他的错误选择方式，因为最终获得的答案一定是合法解