CF908E New Year and Entity Enumeration 题解

CF908E

给定 \(m\)，令 \(M = 2^m -1\)。给定 \(\{0,1,\cdots, M\}\) 的大小为 \(n\) 的子集 \(T\)，定义集合 \(T \subseteq S \subseteq \{0,1,\cdots,M\}\) 是好的当且仅当：

• \(a \in S \Rightarrow a \oplus M \in S\)

• \(a,b \in S \Rightarrow a\ and\ b \in S\)

求好的集合的个数

\(1 \leq m \leq 1000, 1 \leq n \leq min(2^m, 50)\)

• 我们先考虑假如得到了一个不完整的 \(S\) 如何把他变为合法的集合

• 打表找规律

• 可以发现当加入了 00011 和 00111 后，他会把 54 分成一部分， 3 一部分，21 一部分，然后填 0/1，答案是：

• 00000
  00011
  00100
  00111
  11000
  11011
  11100
  11111
  

• 可以发现，若 \(S\) 中的 \(x_1,x_2,\cdots,x_t\)​ 位在所有数中要么同为 \(1\)，要么同为 \(0\)，也就是说相同，那么他们就会”打包“在一起，在 \(S\) 中独立取 \(0/1\)

• 其实这不是巧合，这是有依据的

• 第一条操作的意思显然就是 \(a \in S \Rightarrow (\sim a) \in S\)

• 而我们有：

• \[\begin{align} & a\ or\ b = \sim((\sim a)\ and\ (\sim b)) \\ & a \oplus b = \sim((\sim(a\ or\ b)\ or\ (a\ and\ b)) \end{align} \]

• 因此上述的操作最终制造出了一个异或操作，即这些数构成了一个异或的线性基

• 因此我们只需要按位进行集合划分

• 设 \(dp_i\) 表示 \(i\) 位数，拆开 or 不拆开的所有方案数，有转移：

• \[dp_i \leftarrow \sum_{j=0}^{i-1} \binom{i-1}{j} dp_{i-j-1} \]

• 大致意思是考虑第 \(i\) 位数和另外 \(i-1\) 个位置中 \(j\) 个位置划分成一个集合，然后继续递归

• 最后只需要根据乘法原理相乘即可

• 最终复杂度为 \(O(m^2+mn)\)