CF1859F Fancy Arrays

Fancy Arrays - 洛谷

• 我们先找这题看起来有点奇怪的部分：

  • $x\le 40$

  • $|a_i-a_{i-1}|\le k$

• 我们先考虑第二个条件怎么用。我们发现 $min{a}_i\in [0,x+k)$，而原数组相邻两数之差的条件肯定要考虑成差分来处理

• 可以发现，一个差分数组和 $min{a}_i$ 与一个 $a_i$ 序列唯一对应。因为我们可以把差分求前缀和，然后找到里面的最小值，再整体加偏移量的方式得到 $a_i$

• 对于 $min{a}_i\in [x,x+k)$ 的情况自然不需要考虑，因为他们构造出来的一定都满足条件。而对于 $min{a}_i\in [0,x)$ 的情况，不满足条件当且仅当 $max{a}_i\in [0,x)$，我们可以考虑容斥。

• 总方案：$(2k+1{)}^{n-1}\times (x+k)$；现在我们即要求满足 $a_i\in [0,x)$ 的 $a_i$ 的方案数。我们可以 $dp$ 来处理这个问题

• 设 $d{p}_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数已经填好，第 $i$ 个数填 $j$ 的方案数。转移是 $O(n{k}^2)$ 的，前缀和可以优化掉一个 $k$

• 发现 $x\le 40$，于是矩阵快速幂优化 $dp$

• 最终复杂度 $O(T{x}^3\log n)$