P1758 [NOI2009] 管道取珠

[NOI2009] 管道取珠 - 洛谷

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• 非常神奇的一个思路。

• 考虑我们要计算的式子的真正意义。$\sum a_i^2$ 不就相当于让两个管道取珠系统同时进行，最后取出方案完全相同的方案数吗？

• 因此我们考虑朴素 $dp$ 两个管道是怎么取珠的。

  • 设计状态：设 $d{p}_{i,j,k,l}$ 表示第一个系统上面取到了 $i$，下面取到了 $j$。第二个分别取到 $k,l$ 的方案数。

  • 转移：

    $$\{\begin{array}{ll}d{p}_{i,j,k,l}\leftarrow d{p}_{i-1,j,k-1,l}& a_i=a_k\\ d{p}_{i,j,k,l}\leftarrow d{p}_{i-1,j,k,l-1}& a_i=b_l\\ d{p}_{i,j,k,l}\leftarrow d{p}_{i,j-1,k-1,l}& b_j=a_k\\ d{p}_{i,j,k,l}\leftarrow d{p}_{i,j-1,k,l-1}& b_j=b_l\end{array}$$

  • 优化：

    1. 发现有 $i+j=k+l$，可以优化掉一维

    2. 开三维空间开不下，可以滚动数组优化掉一维

• 最终复杂度 $O(n^3)$