看着个题目以为是变换考虑方向，但想了半天完全没有思路
先考虑暴力。设 $d p_{i, j}$ 表示前 $i$ 个数，第 $i$ 个数强制选，值为 $j$ 的方案数
容易得到转移方程：

$d p_{i, j} = {\begin{cases} \sum_{k = 0}^{i - 1} \sum_{l = 1}^{j - 1} d p_{k, l} & j \in [l_{i}, r_{i}] \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}$
这么做显然不行，因为值域太大了，状态根本列不下。考虑离散化。
我们先把闭区间变成左闭右开区间后离散化，记 $[b_{i}, b_{i + 1})$ 为第 $i$ 个区间，考虑改变 $d p$ 状态的定义
设 $d p_{i, j}$ 表示前 $i$ 个数，第 $i$ 个强制选，值在第 $j$ 个区间内的方案数。转移时我们枚举第一个值在第 $j - 1$ 区间内的位置 $k$ 即可转移。
如果你这么想你就太 naive 了！
我们发现我们完全没有考虑 $(k, i]$ 区间内的填数情况，这些区间里的数要么是在区间 $j$ 中要么没有选，我们要考虑计算这里面的方案数。
引理：从 $[x, x + L - 1]$ 这些数中选 $n$ 个数，使得构造的序列非 $0$ 位单增的方案数为 $(\binom{L + n}{n})$

证明：如果没有选择非 $0$ 位的条件的话方案数显然为 $(\binom{L}{n})$ ，即从 $1, 2, 3, \dots, L$ 中选 $n$ 位即可。现在新增了选 $0$ 的条件，我们不妨沿用插板法的思路，把原序列前添加上 $n$ 位 $0$ ，此时如果选择了第 $i$ 个 $0$ ，则等价于在第 $i$ 位后面插入一个 $0$ 。
有了这个定理，我们就可以列出转移方程：

$d p_{i, j} = {\begin{cases} \sum_{k = 0}^{i - 1} \sum_{l = 1}^{j - 1} (\binom{L + m - 1}{m}) \times d p_{k, l} & j \in [l_{i}^{'}, r_{i}^{'}] \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}$
其中 $L = b_{j + 1} - b_{j}$ ， $m$ 表示 $(k, i]$ 中包含第 $j$ 个区间的区间个数。组合数上标 $- 1$ 是因为我们强制第 $i$ 位选。
这么做还不太够，因为暴力转移这个式子是 $O (n^{4})$ 的，发现我们可以用前缀和优化，最终可以做到 $O (n^{3})$