bzoj#2958. 序列染色

bzoj #2958

• 非常好的容斥 dp 题

• 发现这道题分为没有找到颜色 $B$ ，找到连续 $K$ 个颜色 $B$ 但没找到颜色 $W$ 以及都找到了三种状态，因此我们考虑把这些状态记为 $0,1,2$ 设到 dp 中

  • 设计状态：设 $d{p}_{i,j,k}$ 表示前 $i$ 个数，状态为 $j$，第 $i$ 个数为 $k$ 的方案数( $0B1W$ )

  • 转移：首先我们容易想到枚举第 $i-1$ 个数填什么，即

    $$d{p}_{i,j,k}=d{p}_{i-1,j,0}+d{p}_{i-1,j,1}$$

    但这显然不对，因为这时候可能出现状态之间的跨越，例如在填第 $0$ 中状态时恰好填了连续 $k$ 个 $B$，从而转移到状态 $1$。怎么办？我们考虑使用容斥。

    对于 $d{p}_{i,0,k}$，我们先枚举第 $i-1$ 位填什么，然后考虑使用容斥减掉出现了连续个颜色 $k$ 的部分，容易发现即为 $d{p}_{i-K,0,k\oplus 1}$。对于其他状态同理，最终得到递推式：

    $$\begin{array}{}\text{(1)}& d{p}_{i,j,k}& =d{p}_{i-1,j,0}+d{p}_{i-1,j,1}\text{(2)}& d{p}_{i,0,k}& -=d{p}_{i-K,0,k\oplus 1}\text{(3)}& d{p}_{i,1,k}& +=d{p}_{i-K,0,k\oplus 1}\text{(4)}& d{p}_{i,1,k}& -=d{p}_{i-K,1,k\oplus 1}\text{(5)}& d{p}_{i,2,k}& +=d{p}_{i-K,1,k\oplus 1}\end{array}$$

    其中要注意的是对于第 $2,3$ 的式子当且仅当 $(i-K,i]$ 中所有数都为 $B$ 时才满足条件，$4,5$ 式子同理，可以使用前缀和来判断区间中是否有某个颜色

  • 最终答案：$d{p}_{n,2,0}+d{p}_{n,2,1}$

• 最终复杂度 $O(n)$