CF1866M Mighty Rock Tower 题解

Problem - 1866M - Codeforces

Mighty Rock Tower - 洛谷

• 先考虑一个 $O(n^2)$ 的 dp

  • 设计状态： $d{p}_i$ 表示搭 $i$ 层的期望

  • 转移：$d{p}_i=d{p}_{i-1}\times (1-P_i)+\sum _{j=i}^{n-1}d{p}_j\times P_{j+1}^{j-i+1}\times (1-P_{j+1})$ ，显然是有后效性的，但我们展开 $d{p}_n$ ，移一下项，就变成了之和 $d{p}_{n-1}$ 有关的了，就这样一直展开到 $d{p}_0$ 再递推回去，就可以做到 $O(n^2)$

• 考虑优化，我们的复杂度主要在哪？主要是在后面部分的展开，换言之我们并不好考虑从高层掉到第 $i$ 层的情况，因此我们不妨考虑强制从 $i-1\to i$ 的期望

  • 设计状态： $d{p}_i$ 表示从 $i-1\to i$ 的期望次数

  • 转移：

  • $$\begin{array}{}\text{(1)}& d{p}_i& =1+\sum _{j=1}^{i}d{p}_j\times P_i^i+\sum _{j=1}^{i-1}{P}_i^j\times (1-P_i)\times \sum _{k=i-j+1}^{i}d{p}_k\text{(2)}& & =1+\sum _{j=1}^{i}d{p}_j\times P_i^i+\sum _{k=1}^i\sum _{j=i-k+1}^{i-1}{P}_i^j\times (1-P_i)\times d{p}_k\text{(3)}& & =1+\sum _{j=1}^{i}d{p}_j\times P_i^i+\sum _{k=1}^i\sum _{j=i-k+1}^{i-1}{P}_i^j\times (1-P_i)\times d{p}_k\text{(4)}& & =1+\sum _{j=1}^{i}d{p}_j\times P_i^i+\sum _{k=1}^i(P_i^{i-k+1}-P_i^i)\times d{p}_k\text{(5)}& & =1+\sum _{j=1}^{i}d{p}_j\times P_i^{i-j+1}\text{(6)}& (1-P_i)d{p}_i& =1+\sum _{j=1}^{i-1}d{p}_j\times P_i^{i-k+1}\text{(7)}& d{p}_i& =\frac{1+\sum _{j=1}^{i-1}d{p}_j\times P_i^{i-k+1}}{i-P_i}\end{array}$$

  • 优化转移：发现 $P_i$ 的原因并不好优化，但原题 $P_i\le 99$ ，因此我们可以直接对每一种 $P_i$ 都做一遍前缀和，最终复杂度 $O(n\mathrm{\Sigma })$