一道很好的数位 dp 题
不过这题有一个比较有意思的性质：当 $n, m$ 为 $2^{k}$ 的形式时，最终得到的数组对每一行排序后为 $0 \sim m - 1$ 的排列，如果有的话说不定可以作为一个部分分？
遇到二进制运算，通常不是按位考虑就是数位 dp 。这题按位考虑不现实，因为 $> K$ 的约束条件比较严格，我们不能通过单纯的判断数位的某一位来知道这个数是否 $> K$ ，因此我们考虑数位 dp
最终答案是什么？记异或值 $> K$ 的对数 $S_{1}$ 和异或值 $> K$ 的异或和 $S_{2}$ ，则最终答案为 $S_{2} - S_{1} \times K$
- 设计状态： $f_{i, 0 / 1, 0 / 1, 0 / 1}$ 表示考虑到第 $i$ 位， $n$ 的上界有没有取到、 $m$ 的上界有没有取到、 $K$ 的下界有没有取到的最终答案。再设一个辅助转移数组 $g_{i, 0 / 1, 0 / 1, 0 / 1}$ 定义相同，但记录的是对数。
- 初始化： $f_{i, a, b, c} \leftarrow 0, g_{i, a, b, c} \leftarrow 0, g_{62, 0, 0, 0} \leftarrow 1$
- 转移：记下一维的状态为 $a^{'}, b^{'}, c^{'}$ ，第 $i$ 位填的数为 $z z$ ， $K$ 的第 $i$ 维为 $z$
- $\begin{aligned} (1) & g_{i + 1, a, b, c} & \to g_{i, a^{'}, b^{'}, c^{'}} \\ (2) & f_{i + 1, a, b, c} + 2^{i} \times (z z - z) \times g_{i + 1, a, b, c} & \to f_{i, a^{'}, b^{'}, c^{'}} \end{aligned}$
- 最终答案： $f_{0, 0, 0, 0}$ ，因为下标是从 $0$ 开始，所以前两项不用取到。因为异或和为 $K$ 的会被减掉，因此不用考虑 $\leq K$ 的情况，第三项不用取到
最终复杂度 $O (T \log n)$