bzoj #2863. 愤怒的元首

bzoj #2863

• 设 $d{p}_i$ 表示 $i$ 个点的 DAG 个数。发现一个 DAG 删去出度为 $0$ 的点后显然还是一个 DAG ，因此不妨枚举出度为 $0$ 的点的个数： $d{p}_i=\sum _{j=1}^{i}d{p}_{i-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})2^{j(i-j)}$
• 这么干显然不太对，因为我们不能保证每次删除时都能把图中的所有出度为 $0$ 的点删完，换言之，我们后面这个式子求的是至少有 $j$ 个出度为 $0$ 的点的方案数，而我们想要求恰好，显然容斥原理
• 我们设 $f_j$ 表示恰好有 $j$ 个出度为 $0$ 的点方案数， $g_i$ 表示至少有 $j$ 个出度为 $0$ 的点方案数，根据广义容斥，可以知道：

$$g_i=\sum _{j=i}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})f_j\iff f_i=\sum _{j=i}^n(-1{)}^{j-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})g_j$$

• 而 $d{p}_i=\sum _{j=1}^i{f}_i$ ，因此：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& d{p}_i& =\sum _{j=1}^i{f}_j\text{(2)}& & =\sum _{j=1}^i\sum _{k=j}^i(-1{)}^{k-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})g_k\text{(3)}& & =\sum _{j=1}^i\sum _{k=j}^i(-1{)}^{k-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})d{p}_{i-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})2^{k(i-k)}\text{(4)}& & =\sum _{k=1}^i\sum _{j=1}^k(-1{)}^{k-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})d{p}_{i-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})2^{k(i-k)}\text{(5)}& & =\sum _{k=1}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})2^{k(i-k)}d{p}_{i-k}\sum _{j=1}^k(-1{)}^{k-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})\text{(6)}& & =\sum _{k=1}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})2^{k(i-k)}d{p}_{i-k}(0-(-1{)}^j)\text{(7)}& & =\sum _{k=1}^i(-1{)}^{j+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})2^{k(i-k)}d{p}_{i-k}\end{array}$$

• 还有一种理解思路：根据容斥原理， $|{\cup }_{i=1}^n{A}_i|=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+1}\sum _S|{\cap }_{x\in S}{A}_x|$ ，因此直接容斥就可以
• 最终复杂度 $O(n)$