P3239 [HNOI2015] 亚瑟王

P3239

bzoj #4008

• 根据期望的线性性，我们设 $E_i,P_i$ 分别表示第 $i$ 张卡牌期望造成伤害和第 $i$ 张卡牌被选择的概率。我们可以知道：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& Ans& =\sum _{i=1}^n{E}_i\text{(2)}& & =\sum _{i=1}^n{P}_i{d}_i\end{array}$$

• 因此我们只需要考虑对于每一张卡牌怎么求出 $P_i$
• 我们发现如果第 $i$ 张卡牌被考虑了 $j$ 次，则他至少被选择一次的概率为 $1-(1-p_i{)}^j$ ，即总的概率 $-$ 不会被选的概率
• 我们把原问题画成一个表格，其中第 $i$ 行表示第 $i$ 轮，第 $j$ 列表示第 $j$ 张牌。我们考虑竖着 dp 这个问题，因为横着 dp 我们是不好记录前若干轮的状态的，而题目有一个比较重要的性质：如果技能发动，则对敌方造成 $d_i$ 点伤害，并结束这一轮。因此我们只需要考虑前 $i$ 张牌在 $r$ 轮中被选择了多少张即可
  • 设计状态：设 $d{p}_{i,j}$ 表示前 $i$ 张牌在 $r$ 轮种选了 $j$ 张的概率
  • 初始化： $d{p}_{i,j}\leftarrow 0,d{p}_{0,0}\leftarrow 1$
  • 转移：$d{p}_{i,j}\leftarrow d{p}_{i-1,j}\times (1-p_i{)}^{r-j}+d{p}_{i-1,j-1}\times (1-(1-p_i{)}^{r-j+1})$
  • 统计答案： $P_i=\sum _{j=0}^{r}d{p}_{i-1,j}\times (1-p_i{)}^{r-j}$
• 最终复杂度 $O(Tnr)$