P4253 [SCOI2015] 小凸玩密室

P4253

bzoj #4446

• 非常好的一道树形 dp 题
• 起初我看错题了 QwQ ，以为第一个选的必须为根
• 首先我们发现假设我们选的第一个灯泡为 $u$ ，他的行走过程是：$u\to u$ 子树 $\to f{a}_u\to u$ 兄弟子树 $\to f{a}_{f{a}_u}\to \dots$
• 因此我们考虑设 $g_{u,i}$ 表示从 $u$ 点开始，便利完 $u$ 子树后走到第 $i$ 层需要的最小花费。
  • 当 $u$ 没有儿子时，显然 $g_{u,i}=(di{s}_{f{a}_{u,i}}-di{s}_u)\times a_{f{a}_{u,i}}$ ，其中 $di{s}_u$ 表示 $u\to 1$ 的路径和，$f{a}_{u,i}$ 表示 $u$ 一直向上跳直到到达第 $i$ 层的节点编号
  • 当 $u$ 有一个儿子时，容易得到 $g_{u,i}=g_{ls,i}+w_{ls}\times a_{ls}$
  • 当 $u$ 有两个儿子时就比较难办了，因为我们不知道从一个子树跳跃到另一个子树的代价。为此，我们可以记 $f_{u,i}$ 表示从 $u$ 访问其子树并走到第 $j$ 层的兄弟节点的最小花费，则可以得到 $g_{u,i}=min(a_{ls}\times w_{ls}+f_{ls,de{p}_{rs}}+g_{rs,j},a_{rs}\times w_{rs}+f_{rs,depls}+g_{ls,j})$
• 然后考虑 $f_{u,i}$ 的转移，同理
• 最终复杂度 $O(n\log n)$