P3565 [POI2014] HOT-Hotels

三倍经验：

• bzoj #3522

• P3565

• loj #2431

加强版：

• bzoj #4543

• 先看 bzoj #3522 这题。容易想到时间 $O(n^2)$ ，空间 $O(n^2)$ 的树形 dp 。设 $d{p}_{1/2/3,u,i}$ 表示以 $u$ 为根的子树中所有以 $u$ 为一端点，长度为 $i$ 的路径中选 $1/2/3$ 条路径的方案数（注意，这个方案数选的几个节点的 LCA 必须都是 $u$ 节点

• 转移显然，跑个换根即可

• 但这个代码放到 P3565 上会 MLE ，考虑优化空间复杂度

• 设 $f_i$ 表示以当前节点为根时深度为 $i$ 的点的个数， $g_i$ 表示以当前节点为根时选两个深度为 $i$ 且 LCA 是根的方案数， $pr{e}_i$ 表示当前考虑的这些儿子中深度为 $i$ 的路径个数

• 容易得到转移：

$$\begin{gathered} ans\leftarrow ans+g_i\times f_i \\ {g}_i\leftarrow g_i+pr{e}_i\times f_i \\ pr{e}_i\leftarrow pr{e}_i+f_i \end{gathered}$$

• 最终复杂度 $O(n^2)$ ，但空间优化到了 $O(n)$
• 最后考虑加强版，要用长链剖分所以鸽了