P9745 「KDOI-06-S」树上异或 题解

原题

• 挺好的树形 dp ，正好 dp 不太熟练，练习一下
• 赛时只想到了暴力和$X\le 7$ 的链的部分分，过于 naive 不说了
• 先考虑链的情况，既然是二进制考虑按位拆分。设 $g_{i,j,0/1}$ 表示以 $i$ 为根，从 $i$ 点连通块的疑惑和第 $j$ 位为 $0/1$ ，除去连通块部分的积的和。然后设 $f_i$ 表示以 $i$ 为根的答案。
• 初始状态：若 $a_u$ 的第 $i$ 位为 $1$ ，则 $g_{u,i,1}=1$ ，否则为 $0$
• 对于每个儿子，枚举二进制下每位 $i$ 转移

$$\{\begin{array}{l}{g}_{i,j,0}\leftarrow g_{i,j,0}\times (g_{i-1,j,0}+f_{i-1})+g_{i,j,1}\times g_{i-1,j,1}\\ g_{i,j,1}\leftarrow g_{i,j,1}\times g_{i-1,j,0}+g_{i,j,1}\times (g_{i-1,j,0}+f_{i-1})\\ f_i=\sum _{j=0}^{63}{2}^j\times g_{i,j,1}\end{array}$$

• 链是相对比较好理解的，然后考虑树的部分。
• 同理的， dp 的定义和链相同，初始状态相同。对于每个儿子，枚举二进制下每位 $i$ 转移

$$\{\begin{array}{l}{g}_{u,i,0}\leftarrow g_{u,i,0}\times (g_{v,i,0}+f_v)+g_{v,i,1}\times g_{v,i,1}\\ g_{v,i,1}\leftarrow g_{u,i,0}\times g_{v,i,1}+g_{u,i,1}\times (g_{v,i,0}+f_v)\\ f_u=\sum _{i=0}^{63}{2}^i\times g_{u,i,1}\end{array}$$

最终复杂度 $O(n\log X)$