山东省实验中学 2023 秋提高级友好学校赛前联测 3 T3

零一串 (string)

题目描述

给定一个长度为 \(n\) 的 01 串，你需要将它划分成若干段，每一段的长度都不超过 \(m\)，且满足以下两种条件之一：

1. 这个段中全部为 \(0\) 或全部为 \(1\).
2. 这个段中 \(0,1\) 数量之差不超过 \(k\).

你需要求出该 01 串合法的划分最少要多少段。

输入格式

第一行输入三个整数 \(n,m,k\)，分别表示 \(01\) 串的长度，段的长度限制，条件 \(2\) 中 \(0,1\) 数量差的限制。

接下来一行，输入一个长度为 \(n\) 的 \(01\) 串，表示该 \(01\) 串。

输出格式

一行，输出一个正整数，最少划分段数。

样例 #1

样例输入 #1

5 4 1
01110

样例输出 #1

2

样例 #2

样例输入 #2

20 5 1
10111101010011000100

样例输出 #2

6

提示

样例 1 解释：

一种符合条件的划分方式是 (01,110).

数据范围：

subtask	score	\(n\)	\(k\)	性质A
0	10	\(\le 2 \times 10^3\)	\(\le n\)	1
1	30	$\le 2 \times 10^5 $	\(\le n\)	0
2	20	\(\le 10^7\)	\(\le n\)	1
3	15	\(\le 10^7\)	\(=0\)	0
4	25	\(\le 10^7\)	\(\le n\)	0

其中，性质 A 为：\(01\) 串随机生成，每一位均有一半的概率为 \(0\),一半的概率为 \(1\).
表中性质 A 一栏为 \(1\) 则表示数据满足该性质。

对于 \(100\%\) 的数据，满足 \(1 \le n,m,k \le 10^7\)

原题

• \(0 \rightarrow -1,1 \rightarrow 1\) ，dp 是 simple 的，\(O(n \log n)\) 即线段树每个节点维护单调队列，然后扫描线问题变成二维数点，加上 \(K = 0\) 可以拿到 55pts 。然后赛时就想不下去了，但至少觉得相邻前缀和之差为 \(1\) 是解决问题的关键

• 正解：在单调队列的过程中，每个队列中最多只有两个值，因为他们肯定是互相转移的，否则一定不优，因此我们不用单调队列，只用维护最大和次大即可

• 但区间 \(\min\) 还是很难做到线性。我们考虑这题有哪些特殊性质

  1. 相邻两个前缀和之差 \(\leq 1\)
  2. \(f_i \leq n\)
  3. \(f_{i+1} - f_i \leq 1\) (即把 \(i+1\) 单独看成一段)

• 因此我们可以开一个桶存每个 \(f_i\) 的值，然后用一个指针指向最大的 \(f_i\) ，每次插入或删除数时暴力移动指针即可。最终复杂度 \(O(n)\)