CF1119F Niyaz and Small Degrees 题解

原题

翻译

首先 \(O(n^2 \log n)\) 的 dp 是 simple 的，我们设 \(dp_{i,0/1}\) 表示以 \(i\) 为根， \(i\) 到 \(fa_i\) 这条边删/不删的最小权值和。转移是一个非常 trick 的问题，只需要假设所有都选 \(dp_{i,0}\) ，然后把所有儿子按照 \(dp_{v,1} + w(u,v) - dp_{v,0}\) 排序，选前 \(deg_u - X\) 个即可。其中 \(X\) 为你在外层枚举的限制度数。

排序可以直接 sort ，但为了方便优化复杂度，我们用堆来实现

这里有一个非常关键的点：我们发现对于 \(deg_u \leq X\) 的这些点他们并不会对答案产生很大的影响，因为他们是不会自己主动删边的，顶多是和他们相连的点删边后牵连到了他。因此我们考虑把这些节点删掉，而和他相连的边合并到每个未被删掉节点的堆中，这样原来的树就会慢慢变成几个比较稀疏的森林，然后问题就变得好做了。对于每一个森林，我们只需要像朴素 dp 转移一样暴力取出前 \(deg_u - X\) 个最大的值然后更新答案即可，最后别忘了再把堆还原回去

这复杂度感觉不对，但又感觉是对的，因为直觉上不会所有节点的 \(deg_u\) 都很大。我们发现一个点 \(u\) 只会堆

\[\sum_{i=0}^{n-1} \sum_{u = 1}^{n} [deg_u > i] = 2(n-2) \]

的，因此复杂度是 \(O(n \log n)\)