CF1870E Another MEX Problem 题解

原题

翻译

首先 $O(n^3)$ 的 dp 是 simple 的。设 $d{p}_{i,j}$ 表示前 $i$ 个划分后异或和为 $j$ 是否可行。因为转移不具有连续性，故bitset无法优化(其实 $O(\frac{n^3}{\omega })$ 也跑不过去)

官方做法：

• 定义对于一个区间 $[l,r]$ 中不存在 $l\le l^{\prime }\le r^{\prime }\le r$ 满足 $mex(l,r)=mex(l^{\prime },r^{\prime })$ ，则称这个区间为“好的区间” 。好的区间只有 $O(n)$ 个。
• 证明：不妨设 $a_l>a_r$ ，显然有 $a_l<mex(l,r)$ ，假设对于以 $l$ 为左端点存在另一个好的区间 $[l,r^{\prime }]$ 满足 $r^{\prime }>r$ 且 $a_l>a_{r^{\prime }}$ ，则 $a_{r^{\prime }}<a_l<mex(l,r)$ ，说明 $a_{r^{\prime }}$ 一定已经在 $[l,r]$ 中出现过了，一定不会产生有效贡献，因此 $[l,r^{\prime }]$ 不可能是一个“好的区间”
• 对于 $a_l<a_r$ 的情况同理，只需固定右端点即可
• 因此只需要预处理出“好的区间”，然后 $O(n^2)$ 做刚才的 dp 即可

然后再说一个别的做法：

• 发现 $d{p}_{i,j}$ 如果一个位置是 $1$ ，那他的后缀都是 $1$ ，因此显然你能选的位置越靠前越优
• 故设 $f_x$ 表示可以凑出异或和为 $x$ 的最小下标
• 怎么计算呢？我们可以计算 $g_{i,x}$ 表示从 $i$ 位置后面(包含)开始，满足 $mex(i,g_{i,x})=x$ 的最小的 $g_{i,x}$ ，预处理是 $O(n^2)$ 的
• 然后转移就比较明显了，枚举下一个区间的 $mex$ 值是什么，$f_{x\oplus y}\leftarrow g_{f_x+1,y}$ 。转移顺序可以枚举当前考虑的是前 $i$ 个数，然后找到所有 $f_x+1=i$ 的位置 $x$ 进行转移

For(i, 1, n)
    For(j, 0, m - 1)
        if(f[ j ] + 1 == i)
            For(k, 0, m - 1)
                Min(f[ j ^ k ], g[ i ][ k ]);

• 最终复杂度 $O(n^2)$ ，不过坏消息是空间多了个常数，要开 short 才能通过