ABC159F Knapsack for All Segments

原题

翻译

$O(n^3)$ 的朴素 $dp$ 是 simple 的

考虑定义一个子序列是”好的子序列”当且仅当 $a_l$ 和 $a_r$ 都在子序列中，容易发现他对答案的贡献是包含他的区间，即 $l\times (n-r+1)$

先说我自己的做法：设 $d{p}_{i,j}$ 表示强制以 $i$ 结尾，子序列和为 $j$ 的答案，注意这里要带上他的左端点系数，即 $l$

容易得到递推式：

$$\{\begin{array}{ll}d{p}_{i,j}=\sum _{j<i}d{p}_{i,j-a_i}& (j>a_i)\\ d{p}_{i,j}=i& (j=a_i)\end{array}$$

其中可以用前缀和优化转移，做到 $O(n^2)$

题解里做法大同小异，他们但去掉了强制的设定，变成了一个 01 背包问题然后求解，而对于钦定

最终复杂度 $O(n^2)$