牛客提高模拟赛第四场 T3

给你一个数 $n$ ，让你从 $n$ 中取出若干数合并成 $x$ ，剩下数合并成 $y$ ，求对于所有取法 $x+y$ 的和

例如 $12345$ 可以拿出 $24$ ，剩下 $135$ ，此时会对答案产生 $24+135$ 的贡献。而 $42,153$ 或 $23,15$ 是不合法的

$n\le {10}^{{10}^5}$

显然 $\sum x+y=\sum x+\sum y$ ，因此我们单独考虑 $n$ 中选若干个数合并成的所有 $x$ 的和，记作 $cnt$ ，答案即为 $2cnt$

这里其实不算是动态规划。设 $f_i$ 表示第 $i$ 个位置强制取，剩下的随意的方案数。容易发现：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f_i& =a_i{2}^{n-i-1}\sum _{j=0}^{i-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{j}){10}^j\text{(2)}& & =a_i{2}^{n-i-1}\sum _{j=0}^{i-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{j}){10}^j{1}^{i-j}\text{(3)}& & =a_i{2}^{n-i-1}(10+1{)}^{i-1}\end{array}$$

其中 $2^{n-i-1}$ 表示 $i$ 这位之后随便取得方案数， $\sum _{j=0}^{i-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{j}){10}^j$ 表示前 $i-1$ 个数中取 $j$ 个时的方案数 $+$ 产生的贡献

$cnt=\sum _{i=1}^n{f}_i$

复杂度 $O(n\log n)$ ，瓶颈快速幂