2021-2022 ACM-ICPC Nordic Collegiate Programming Contest (NCPC 2021) gym 104670 C

原题

容易想到最短路 DAG 求出来，起初我以为要求最小割，但这是错误的，因为可能有多条边联通了一个点的情况，这时候选择最小割不一定是最优的

我们猜想一个思路：答案一定是包含 $1$ 号节点的连通块全部填 $N$ ，剩下的填 $S$ 。发现在最短路 DAG 中， $1\to n$ 的所有路径里经过超过 $2$ 条边的所有路径都可以被覆盖。而比较特殊的就是 $1\to n$ 直接有边，这种情况只需保证 $1$ 和 $n$ 颜色相同即可

注意没有答案当且仅当 $n=2,k=1$

最终复杂度 $O((n+m)\log (n+m))$ ，复杂度瓶颈在于 dijkstra