qbxt 突破营 Day7 T4

小葱觉得糖很好吃，现在要把糖卖掉。现在小葱的$N$位顾客形成了一棵$N$个点的树，小葱可以把糖卖给所有叶子节点上的人。但是，小葱不希望卖太多的糖，所以小葱会做$K$次操作。每次操作小葱会等概率选一条边，将两边的顾客合并成一个新顾客，并将原来连到这两个顾客的边全部连接到这个新顾客上。（除了原来这两个顾客之间的那条边）现在问小葱在做完$K$次操作后，期望能卖出多少颗糖。

对于$100\mathrm{\%}$的数据，$1\le K<N\le {10}^5$。

赛时想到正解了，但因为期望题没大做过，况且还是 T4 就没感写 QwQ

根据 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ ，我们可以知道 $E(X)=\sum _{i=1}^{n}E(i)=\sum _{i=1}^{n}P(i)\cdot 1$ ，因此我们计算每个点成为叶子时的概率即可

概率 $=$ 满足条件方案数 $/$ 总方案数，因此我们考虑对每个点求他可能成为答案的方案数：

1. 这个点是叶子时，只要选边时不选择和叶子相连的边删掉，剩下的随便删即可，方案数即为 $(n-2{)}^{\underset{―}{K}}$
2. 这个点不是叶子时，假设他所有子树大小为 $S_1,S_2,S_3,\cdots ,S_r$ ，则显然我们可以选择一个子树不删，剩下的必须删掉，方案数即为 $\sum _{i=1}^r{A}_K^{S-S_i}(S_i-1{)}^{\underset{―}{K-S+S_i}}$

最终复杂度 $O(n)$