qbxt 4219: npc与slime

原题

一条路径上有 $n$ 个位置，有三种元素：$slime$，$npc$，$player$。
$slime$ 初始会向右移动，$npc$ 初始会向左移动，所有元素移动速度是相同的：$1$ 单位距离每 $1$ 单位时间。
元素的移动遇到边界会改变初始移动方向，并继续移动。
我们称 $player$ 与 $npc$ 为人类，$npc$ 带有初始为 $0$ 的能力值。
你作为 $player$ 与 $npc$ 有相同的移动规则，由于带有主角光环，你若出生在位置 $i$ 初始会有 $s_i$ 的能力值。
若有某两元素相遇，他们会开始战斗，战斗不改变移动方向，战斗总是遵循以下两种规则。
1、人类与 $slime$ 相遇：人类总是胜利，胜利后人类能力值 $+1$。
2、人类与人类相遇：能力值大的获胜，若能力值相同，则 $player$ 获胜，能力值不发生改变。
可以证明，这两条规则覆盖了所有情况。
失败的一方将被立刻移除游戏，胜利的一方将仍继续行进。
由于你是主角，你的左侧总是以 $100\mathrm{\%}$ 的概率刷新 $slime$，你的右侧总是分别以 $50\mathrm{\%}$ 的概率刷新 $npc$ 或者 $slime$。
对于 $1,n$ 两个特殊位置有特殊的刷新规则：$1$ 号位置总是 $slime$，$n$ 号位置总是 $npc$。
你需要求出来你以相同概率随机出生在 $[2,n-1]$ 的某一位置，经过 $\mathrm{\infty }$ 单位时间后，仍存活的概率。
你需要注意，游戏的进程总是 $player$ 先刷新，然后以一定概率刷新 $slime$ 和 $npc$，然后开始游戏。
可以证明概率总是一个有理数 $\frac{x}{y}$，你只需要输出这个数对 $998244353$ 取模的结果。
保证 $s_1=s_n=0$。
对于所有测试点满足 $3\le n\le 5\times {10}^5,0\le s_i\le {10}^9$。

一道二项式反演题

我们假设现在在考虑第 $i$ 位，令 $B=s_i+i-1$ ，我们让 $f(n)$ 表示钦定 $n$ 个 $slime$ 长度 $=B+1$ ，之后跟一个 $npc$ 时的方案数(这里如果 $>B+1$ 的连续段怎么办？一会再说)，我们可以知道 $g(0)=\sum _{i>0}(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{0})f(i)=\sum _{i>0}(-1{)}^{i}f(i)$

我们考虑怎么求 $f(k)$ ，我们用组合数，我们先确定 $k$ 个连续段，然后考虑往这 $k+1$ 个位置里插入剩下的 $n-i-1-k\times (B+2)$ 个 $slime$ (其中 $-1$ 的原因是我们钦定的是 $slime$ )，这里直接用插板法：把这些史莱姆插到 $k+1$ 个空里的方案数

一些细节：由于 $n$ 号节点始终是 $npc$ ，我们要讨论在钦定不满足条件的连续段时是否钦定了 $n$ 这一个 $npc$

复杂度分析：有人觉得这是 $O(n^2)$ 的，但我们发现玩家在 $i$ 位置时能力值至少为 $i-1$ ，因此复杂度为调和级数，最终复杂度 $O(n\log n)$