CF1861E Non-Intersecting Subpermutations

原题

翻译

一道很显然是 $dp$ 的题

我们设 $f_{i,j}$ 表示钦定了前 $i$ 个数，其中 $[i-j+1,i]$ 这些数中没有重复(就是说有成为 $1\sim K$ 的排列的可能性)时的成本之和

我们可以用刷表法来表示这个 $dp$ 的转移方法：

$$\{\begin{array}{ll}{f}_{i+1,j+1}\leftarrow f_{i,j}\times (K-j)& (j<K-1)\\ f_{i+1,j+1}\leftarrow f_{i,j}+1& (j=K-1)\\ f_{i+1,1}\leftarrow f_{i,j}\times K& (j=K)\\ f_{i+1,k}\leftarrow f_{i,j}& (j\ne K,k\in [1,j])\end{array}$$

其中第一行表示这些数还没构成一个排列，我们想让他构成一个排列，从 $(K-j)$ 个数中选一个；第二行表示马上就要构成一个排列了，我们要把贡献加上去；第三行表示我们已经构成了一个排列，下一列可以从 $K$ 个数中随便填；第四行表示我们填了 $[i-j+1,i]$ 这些数中已经出现了的一个，使得我们把这个常为 $j$ 的可能成为排列的值破坏成了常为 $k$ 的值

要是你认为这么做就算完了，那你就太天真了！(一转攻势

我们看第二个式子，他的贡献显然不是 $+1$ 这么简单，而应该是加上前 $i$ 个数中， $[i-j+1,i]$ 这些数没有重复的方案数才对，因此第二个式子计算贡献是不对的

我们考虑再设一个 $g_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数中， $[i-j+1,i]$ 这些数没有重复的方案数

我们改一下第二个式子：$f_{i+1,j+1}\leftarrow f_{i,j}+g_{i+1,K}$，完美解决

但还不完美，对于第四个式子的计算，我们要花费 $O(K)$ 的时间，总复杂度变成了 $O(n{K}^2)$ ，不足以通过此题

这个简单，显然的差分优化 $dp$ ，最终复杂度 $O(nK)$