P4099 [HEOI2013] SAO

今天我刚知道一个很逆天的事： $D A G$ 的拓扑序方案数不可做！！!，目前能做到的最优方法好像是状压

我们考虑这题怎么做，对于一个限制，我们关心的是他俩在拓扑序中的相对排名，而这题恰好是一个树形结构，因此我们考虑树形 $d p$

我们设 $d p_{i, j}$ 表示以 $i$ 为根的子树， $i$ 在拓扑序中的排名为 $j$ 的方案数

我们现在对于已经合并过的以 $u$ 为根的子树，我们考虑把一个没有合并上去的以 $v$ 为根的子树合并上去。显然有两种情况

先算 $u$ 后算 $v$
此时我们考虑合并前 $u$ 的排名为 $p_{1}$ ， $v$ 的排名为 $p_{2}$ ，合并后 $u$ 的排名为 $p_{3}$ ，我们可以发现关系： $p_{1} - 1 \leq p_{3} - 1 \leq p_{1} - 1 + p_{2} - 1$ ，因为 $u$ 必须在 $v$ 的前面。化简后变为： $p_{1} \leq p_{3} \leq p_{1} + p_{2} - 1$
我们可以列出 $d p$ 式子： $d p_{u, p_{3}}^{'} + = d p_{u, p_{1}} \times d p_{v, p_{2}} \times (\binom{p_{3} - 1}{p_{1} - 1}) \times (\binom{s i z_{u} + s i z_{v} - p_{3}}{s i z_{u} - p_{1}})$
其中 $(\binom{p_{3} - 1}{p_{1} - 1})$ 表示前 $p_{3} - 1$ 中一定有 $p_{1} - 1$ 在里面； $(\binom{s i z_{u} + s i z_{v} - p_{3}}{s i z_{u} - p_{1}})$ 则表示在 $u$ 点后面的部分中 $s i z_{u} - p_{1}$ 一定在里面
先算 $v$ 后算 $u$
同 $1.$ 的计算方式，直接给出结论： $p_{1} + p_{2} \leq p_{3} \leq s i z_{u} + s i z_{v}$
$d p$ 的递推式为： $d p_{u, p_{3}}^{'} + = d p_{u, p_{1}} \times d p_{v, p_{2}} \times (\binom{p_{3} - 1}{p_{1} - 1}) \times (\binom{s i z_{u} + s i z_{v} - p_{3}}{s i z_{u} - p_{1}})$