P9476 [_-0 B] 地铁

原题

人类智慧题！！！

假如没有地铁，这题就是一个非常典型的计算贡献的题。我们对每一条边看他左右子树中通过的客流量多少，对于一个边权为 $w$ 的边，他的贡献显然为 $w\times S_1\times S_2$ ，其中 $S_1,S_2$ 为当前边把树分成左右两部分的子树大小

现在有了地铁，使答案减少了 $D$

假设一个人从 $A$ 走到 $B$ ，路经 $A,p_1,p_2,...,p_t,B$ 共 $t+2$ 个点，则对 $D$ 产生的贡献是：

$$(w_{A\to p_1}-w_{A\to p_1}^{\prime })+(w_{p_1\to p_2}-w_{p_1\to p_2}^{\prime })+...+(w_{p_t\to B}-w_{p_t\to B}^{\prime })-t$$

这个式子中的 $t$ 看起来非常碍眼，因为我们想要考虑每个边对答案产生的贡献，但 $t$ 显然与每条边无关，而是和这个人有没有经过铁路有关，这是我们不想要的，因此我们可以魔改一下式子：

$$(w_{A\to p_1}-w_{A\to p_1}^{\prime }-t)+t+(w_{p_1\to p_2}-w_{p_1\to p_2}^{\prime }-t)+t+...+(w_{p_t\to B}-w_{p_t\to B}^{\prime }-t)$$

这样看起来就好多了，因为 $w-w^{\prime }-t$ 就可以看成是路径上边的贡献，而 $t$ 就可以看成是路径上度数为 $2$ 的点的贡献(即把所有点的点权都看成 $t$)

因此我们考虑每个边和每个点贡献的次数

对于一条边，计算同上，对 $D$ 的贡献为 $(w-w^{\prime }-t)\times S_1\times S_2$

对于一个点，他把树分成了三个部分，如图，他的贡献为 $t\times S_1\times S_3$

因此我们考虑树形 $dp$

设 $d{p}_i$ 表示以 $i$ 为根的子树中，链的一端为 $i$ 的父亲，另一端在 $i$ 的子树中的最大贡献

我们发现转移分两种情况：

1. 链的另一端就是 $i$ 点
   此时 $d{p}_i\leftarrow (w_{(i,f{a}_i)}-w_{(i,f{a}_i)}^{\prime }-t)\times si{z}_i\times (N-si{z}_i)$

2. 链的另一端在 $j$ 点的子树内，其中 $j$ 是 $i$ 的直接儿子
   此时 $d{p}_i\leftarrow (w_{(i,f{a}_i)}-w_{(i,f{a}_i)}^{\prime }-t)\times si{z}_i\times (N-si{z}_i)+t\times si{z}_j\times (N-si{z}_i)+d{p}_j$

在求完 $dp$ 值后还没完，因为我们还没有找到答案，我们要考虑怎么更新答案。不妨设最终答案为 $D$

我们设地铁两个端点的 $LCA$ 为 $r$ ，则有两种可能：

1. 如果 $r$ 是端点，则 $D\leftarrow d{p}_r$

2. 如果 $r$ 不是端点，则 $D\leftarrow d{p}_s+d{p}_t+t\times si{z}_s\times si{z}_t$

注意，这里读入的 $t$ 和铁路的端点 $t$ 并不是一个 $t$ ！

对于第一种情况是很好考虑的，直接对于每个点更新一边 $D$ 即可

但对于第二种情况，我们直接枚举 $s,t$ 显然会超时，怎么办呢

我们再次考虑魔改一下式子：

$$D-d{p}_s=t\times si{z}_t\times si{z}_s+d{p}_t$$

这长的想什么？像斜率优化！

$y:d{p}_t$
$x:-t\times si{z}_t$
$k:si{z}_s$
$b:D-d{p}_s$

我们可以把他们按照 $siz$ 排个序，然后用单调队列维护凸包

最终复杂度 $O(n\log n)$ ，瓶颈在于排序