P3761 [TJOI2017] 城市

原题

这题其实是有 $O(n)$ 的解法的

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我们考虑枚举删掉边的中间点，把树分成两个部分

然后对两棵树求直径中点，让删掉的边连接两个树的中点即可

最终复杂度 $O(n^2)$

如果通过加一条边操作让直径最小，则我们考虑把两棵树的中点相连

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然后我们考虑 $O(n)$ 的解法

首先，我们删的边一定在原树的直径上，否则删完边后不会对直径产生影响

因此我们考虑枚举直径上删哪条边，然后还是两遍 $dfs$ 暴力找直径

我们再考虑优化，我们发现在删掉边后树的直径端点的一段一定是原直径的端点。因此我们一边 $dfs$ 即可完成

但还是不够优秀，我们发现我们在计算答案时 $dfs$ 了很多重复的情况

我们考虑从左到右考虑删哪条边，我们发现每向右移动一条要删的边，左边的树就多出来了红色的我们没有搜索的部分

我们何尝不只搜索红色的节点，然后更新左边的树的直径呢

这样找树的直径就可以做到 $O(n)$ 了

但是还没完，我们还要考虑怎么找树的中点

我们发现在删边的过程中，左边树的直径长度显然是单增的

因此树的中点位置显然也只会向右移动，因此我们考虑每次修正中点的位置即可

我们在从左到右删完边，考虑完左边树的部分后，我们再从右到左求一边右边树，然后合并答案即可

最终复杂度 $O(n)$

此做法的思路是：

1. 发现删的边只可能是直径上的边

2. 发现删掉边后树的直径的一个端点是原树直径的一个端点

3. 发现加点比删点容易，改变搜索顺序

4. 发现有搜索重复的部分，优化

5. 考虑直径长度有单调性，优化