qbxt 4179 积木中赛（block）

原题

小 P 准备了一次预测活动，每个参与活动的人都可以在 PPP 队获胜，GGG 队获胜和平局三种结果中选择自己要预测的一种。如果第 $i$ 个人预测正确，那么小 P 需要付给他 $a_{i}$ 元，否则他需要给小 P 付 $b_{i}$ 元。小 P 目前已经收到了 $n$ 个人报名参加活动的信息，并知道他们每个人选择的结果与对应的 $a_{i}, b_{i}$ ，现在小 P 可以任意选择是否允许某个人参加活动，他希望知道最坏情况下他能赚到的钱最多是多少。
$n \leq 300, a_{i}, b_{i} \leq 300$

假设 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 是三种情况中赢得比赛要付的钱， $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ 是输掉比赛要付的钱，那原题即要求:

max {min (B_{1} + B_{2} - A_{3}, B_{1} + B_{3} - A_{2}, B_{2} + B_{3} - A_{1})}

这是一个最大值最小的一个问题，但如果我们考虑二分答案后就会发现这个东西没法做了，因为对于里面的任意一个式子，他和 $c_{i} = 1, c_{i} = 2, c_{i} = 3$ 的三个状态都有关，我们无法在 $d p$ 中低复杂度记录这些信息

我们现在想要干什么？我们现在想要对于 $c_{i}$ 相等的情况互相独立，因此我们考虑化简一下式子：

\begin{aligned} (1) & max {min (B_{1} + B_{2} - A_{3}, B_{1} + B_{3} - A_{2}, B_{2} + B_{3} - A_{1})} \\ (2) & = & max {min (B_{1} + B_{2} + B_{3} - A_{3} - B_{3}, B_{1} + B_{2} + B_{3} - A_{2} - B_{2}, B_{1} + B_{2} + B_{3} - A_{1} - B_{1})} \\ (3) & = & max {B_{1} + B_{2} + B_{3} - max (A_{1} + B_{1}, A_{2} + B_{2}, A_{3} + B_{3})} \end{aligned}

我们发现这么一番转变后里面的式子里 $c_{i}$ 相等的部分就被分开了，因此我们就可以分开 $d p$ 了

具体的，对于 $c_{i}$ 相等的部分我们直接 $01$ 背包处理，设 $d p_{o, i}$ 表示选了 $\sum_{c_{j} = o} a_{j} + b_{j} = i$ 的人时 $\sum b_{j}$ 最大是多少。统计答案时可以枚举一个 $l = max (A_{1} + B_{1}, A_{2} + B_{2}, A_{3} + B_{3})$ ，更新答案为 $a n s \leftarrow {max}_{i = 0}^{l} d p_{1, i} + {max}_{i = 0}^{l} d p_{2, i} + {max}_{i = 0}^{l} d p_{3, i} - l$