acwing 299. 裁剪序列

原题

考虑朴素$dp$，设$d{p}_i$表示前$i$个数划分后的最小答案

可以得到转移：

$$d{p}_i=\underset{j=1}{\overset{i-1}{min}}\{d{p}_j+\underset{k=j+1}{\overset{i}{max}}\{a_k\}\}$$

计算复杂度$O(n^2)$，会超时

我们发现对于可能成为答案的状态是以下条件的一个：

1. $\sum _{k=j}^i{a}_k>M$

2. $\underset{k=j}{\overset{i}{max}}\{a_k\}=a_j$

第一个限制没什么好说的，第二个限制的原因是$d{p}_i$单调不降，对于$max$的值相同的部分，我们肯定是取更靠前的更优

因此我们对$a_i$维护单调递减的单调队列，这里单调队列表示的是可能成为答案的部分，而不是直接维护答案

对于在单调队列里的元素，我们用一个堆来维护$d{p}_j+\underset{k=j+1}{\overset{i}{max}}\{a_k\}$的值。当单调队列里的某个元素删掉时，这个堆也删掉这个元素；同理，当单调队列中被加入元素时也加入

但这里有一个问题：$d{p}_j+\underset{k=j+1}{\overset{i}{max}}\{a_k\}$中$i$的右端点是会向后移动来影响答案的，但我们无法做到实时更新$max$的值

但我们假设在加入元素$i$后单调队列里的值为：$q_1,q_2,...,q_t,i$，我们发现此时会影响的答案只有$q_t$，因此我们只需要把$q_t$在堆中的答案删掉后加入新的即可

堆的具体实现可以使用$multiset$

最终复杂度$O(n\log n)$，复杂度瓶颈在于堆