CF359D Pair of Numbers

原题

翻译

感谢$xjk$提供，%%%

先说一个带$\log$的做法

首先，区间满足条件的要求即为$\underset{i=l}{\overset{r}{min}}{a}_i=gc{d}_{i=l}^r{a}_i$，这是显然的(我甚至想错了QwQ)

我们考虑固定住这个区间的最小值$x$，我们发现假如一个区间$[L,R]$满足条件，则$[L,R]$的子区间$[l,r]$必然满足条件。这样我们就证明了区间长度是有单调性的。(注意这里我并不是真的让钦定一个最小值$x$，这里这一步只是证明了长度有单调性)

因此我们考虑二分长度答案，接下来的问题就变成了判断区间$[i-x,i]$中$gcd$是否等于$min$，我们直接用$st$表即可实现

最终复杂度$O(n(\log n+\log A))$，这个复杂度的来源参考这里

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然后我们考虑不带$\log$的做法

我们考虑固定住这个区间的最小值$x$，我们发现假如一个区间$[L,R]$满足条件，则$[L,R]$的子区间$[l,r]$必然满足条件。这样我们就证明了区间长度是有单调性的。

既然我们都想了固定区间最小值$x$，那我们为什么不直接找到$x$向左向右延申时能延申到的最远距离呢？

因此我们考虑设$l_i,r_i$分别表示从$i$开始，保证区间$[l_i,i]$和$[i,r_i]$中所有数都能被$a_i$整除的最小$l_i$和最大$r_i$。因此最终答案即为$r_i-l_i$

因此我们考虑怎么求出$l_i$和$r_i$，暴力的，我们可以考虑二分+$st$表找$gcd$的方法，但这并不优秀

我们能够发现一个性质：如果一个数$a_i$能整除一个区间$[l,r]$，则$a_i$的因数一定可以整除区间$[l,r]$(这不废话吗)

因此我们考虑用$kmp$的思路：初始赋值$l_i=i$，如果$a_{l_i-1}|a_i$，则我们让$l_i\leftarrow l_{l_i-1}$

$r_i$同理，注意最后统计答案时判断重复的区间即可

最终复杂度$O(n)$