CF1827B2 Range Sorting (Hard Version)

原题

翻译

首先，很典的，对于一个区间$[l,r]$，他的最少操作次数为：

$$r-l+1-\sum _{i=l}^{r-1}[\underset{j=l}{\overset{i}{max}}{a}_j<\underset{j=i+1}{\overset{r}{min}}{a}_j]$$

正难则反，我们考虑先算出$\sum _{l=1}^{n-1}\sum _{r=l+1}^n(r-l+1)$，再拿后面那一部分减去前面那一部分

然后就到了经典的交换求和顺序的环节

我们枚举$\underset{j=l}{\overset{i}{max}}{a}_j$的最大值对应的位置，记作$b$，在$b$左边找到距离最近的$a$满足$a_a>a_b$(这里$a_i$数组和$a$变量注意区分)，在$b$右边找到距离最近的$c$满足$a_c>a_b$，在$c$右边找到距离最近的$d$满足$a_d<a_b$，则左端点的范围为$(a,b]$，右端点的范围为$[c,d)$，最终答案为$(b-a)\times (d-c)$

我们考虑怎么找到$a,c,d$。我们可以把他们排序后从小到大删数，把$<b$的和$>b$的放到两个$set$里，每次二分即可，这么做是$O(n\log n)$的

不过还有$O(n)$的做法，我们发现$a,c$的单调栈都很好维护，最不好维护的是$d$的单调栈，因为我们要保证他在$c$的右边。然后这里就要用到一个小技巧：单调栈套单调栈

听起来好像很吓人，那其实只是在维护$c$的时候，如果$c$栈里的元素被弹了出来，我们再把弹出来的元素放到$d$栈中去，这样就可以保证$d$栈的元素一定在$c$栈之后啦(理论可行)

这样最终复杂度$O(n)$