P2501 [HAOI2006] 数字序列

原题

是思路非常值得学习的一道题

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第一问：

首先我们感性上觉得这题应该和LIS有一点关系，但里面有一点问题：

17 50 50 50 18

如果我们求LIS的话，我们会认为只需要改掉50 50 50即可，但其实我们只改掉这些数，我们是无法做到让数单增的

我们发现这个限制写成数学语言即为：$a_i-a_j\ge i-j$，移项得$a_i-i\ge a_j-j$，因此我们令$b_i=a_i-i$，只需求出$b_i$的最长不降子序列，拿$n$减掉即可

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第二问：

这个数据随机我们很难办(我当时以为会用到随机排列的LIS期望长度是$O(\sqrt{n})$的限制想了半天，结果发现并不是这样)，因此我们考虑暴力$dp$

首先容易想到对于我们所求的最长不降子序列里的两个数$b_i,b_j$，我们可以确定在$[i,j]$的所有数值域都不可能在$[b_i,b_j]$之间(废话)

因此我们假设存在一个策略，其中黑线表示我们在操作完后序列的样子，红点表示操作前序列的样子，红色箭头表示变化值的大小(图来自题解)

我们发现对于一条黑线，如果在他上面的点比在他下面的点多，我们把他往上移到在他右边线处更优(如II移到III处更优)；如果在他下面的点比在它上面的多同理；如果双方点相同，随便移动无影响。

因此我们在进行若干次操作后，得到的黑线一定是被分成了两部分：$[i,k]$的值为$b_i$，$[k+1,j]$的值为$b_j$，可以证明这么做一定是不劣的

因此我们考虑一个$O(n^3)$的暴力$dp$：设$g_i$表示以$i$结尾的LIS的所有可能方案的最少操作次数。设$S$表示$f_i$的所有转移前驱构成集合。我们可以得到转移方程：

$$g_i=\underset{frm\in S}{min}(\underset{k=frm-1}{\overset{i}{min}}{g}_{frm}+\sum _{l=frm}^k|a_l-a_{frm}|+\sum _{l=k+1}^i|a_l-a_i|)$$

因为数据随机，每个数被更新的前缀并不多，直接暴力转移即可

最终复杂度$O(n^3)$

u1s1，要是这题把随机性质去掉，数据范围开正常一点的话，是一个好题