P6076 [JSOI2015] 染色问题

原题

题解里大部分做法要做两次二项式反演，不知为何有点喜感

为什么大家都说这题是傻子题啊，我想了将近半小时的说QwQ

老规矩，先说我的做法：

---

方法1：

我一开始也想到了要做两次二项式反演，但感觉好麻烦，于是把一个二项式反演换成了$dp$，复杂度就差了一些

首先我们发现行列的限制不好容斥，因此我们考虑容斥颜色的限制。具体的，设$f_i$表示有至少$i$个颜色不选的方案数，$g_i$表示恰好有$i$个颜色不选的方案数。可以得到$g_i=\sum _{j=i}^n(-1{)}^{j-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})f_j$，于是我们考虑怎么求$f_i$

我们考虑一个比较朴素的$dp$，设$d{p}_{i,j,k}$表示前$i$行染了$j$列，能染$k$种颜色的方案数

可以得到递推式：

$$d{p}_{i,j,k}=(\sum _{l=0}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{l})k^l)\times \sum _{l=0}^{m-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-j}{l})k^{l}d{p}_{i-1,j-l}$$

其中$\sum _{l=0}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{l})k^l$表示染过的列也可以再染的方案数；$\sum _{l=0}^{m-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-j}{l})k^{l}d{p}_{i-1,j-l}$则表示这一行中选一些没染的列染掉的方案数

于是我们考虑怎么优化：

首先前面$\sum _{l=0}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{l})k^l$这部分可以预处理掉，我们不妨设$s_{i,j}=\sum _{l=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{l})j^l$

然后我们推一下$d{p}_{i,j-1,k}$，看两个式子有没有什么共同点

$$\begin{array}{}\text{(1)}& d{p}_{i,j-1,k}& =s_{j-1,k}\times \sum _{l=0}^{m-j+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-j+1}{l})k^{l}d{p}_{i-1,j-l-1}\text{(2)}& & =s_{j-1,k}\times (\sum _{l=0}^{m-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-j+1}{l+1})k^{l+1}d{p}_{i-1,j-l}+d{p}_{i-1,j-1})\text{(3)}& & =s_{j-1,k}\times (\sum _{l=0}^{m-j}\frac{(m-j+1)!}{(l+1)!(m-j-l)!}{k}^{l+1}d{p}_{i-1,j-l}+d{p}_{i-1,j-1})\text{(4)}& & =s_{j-1,k}\times (m-j+1)!\times k\times \sum _{l=0}^{m-j}\frac{k^{l}d{p}_{i-1,j-l}}{(l+1)!(m-j-l)!}+s_{j,k}\times d{p}_{i-1,j-1}\text{(5)}& & =.....\end{array}$$

好吧，推着推着突然发现自己推不下去了，还是直接说结果把：

$$d{p}_{i,j,k}=(m-j)\times k\times d{p}_{i,j+1,k}+d{p}_{i-1,j,k}\times s_{j,k}$$

于是我们就可以$O(nmc)$的得到$dp$答案，$f_i=d{p}_{n,m,c-i}$，最终复杂度$O(n^3)$

---

方法2：

首先我们处理颜色全部使用的限制：设$f_i$表示只用了$i$中颜色，并且满足行和列染色限制的方案数，可以得到：

$$Ans=\sum _{i=0}^c(-1{)}^{c-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{i})f_{c-i}$$

然后我们考虑怎么计算$f_i$。我们固定每一行都要染色，选其中的$k$列随便染色，然后用二项式反演容斥计算：

$$f_i=\sum _{k=0}^m(-1{)}^{m-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})((i+1{)}^k-1{)}^n$$

其中$(i+1{)}^k-1$表示固定的这$k$列随便染，而$-1$是减掉全为空的情况。最终复杂度$O(cm\log n)$