P2532 [AHOI2012] 树屋阶梯

原题

有点被降智了，但降得不多

我先说我的$TLE$做法把

设$d{p}_{i,j}$表示楼梯第一行长$i$，最后一行长$j$的划分方案数

我们每次看覆盖掉左下角的矩形的右上角覆盖位置，可以得到递推式：

$$d{p}_{i,j}=\sum _{k=i}^{j}d{p}_{i,k-1}\times d{p}_{1,j-k}$$

最终复杂度$O(n^3)$，但别忘了还有高精度的复杂度$O(\text{玄学})$，寄

---

被降智的点是什么呢？每次划分后的两个楼梯$i=1$，因此我们直接优化掉一维：$d{p}_i$表示楼梯长$i$的划分方案数，递推式同理

$$d{p}_i=\sum _{k=0}^{i-1}d{p}_i\times d{p}_{n-i-1}$$

我们发现这是什么？这是catalan数(catalan数无处不在)

然后我们直接用公式$O(1)$求即可