P3214 [HNOI2011] 卡农

原题

首先我们先简化一下题意。为什么呢？因为这个题如果不简化题意是不太好做的

我们考虑用二进制表示集合，这样题意为：有$2^n-1$个数，我们要从中选一个大小为$m$的无序子集，满足以下条件：

1. 集合中所有数的异或和为$0$

2. 集合中元素不可重复

首先无序子集是吓人的，因为我们可以先考虑出有序的情况，再直接$/m!$即可

对于多种很严格的限制的题，我们要么考虑固定一个限制计算方案数，再减去在这个限定下包含其他限定的不满足条件的；要么考虑所有的方案数，再减去不满足条件的。这题目前我只知道前者的做法。

在这题中，我们如果固定了第$2$中限制，那第一种限制就很难维护了，因为这些数的值域很大，我们如果想要$dp$的话不好记录状态。因此我们考虑限制第$1$个条件

具体的，我们设$d{p}_i$表示我们已经固定了集合的前$i$个数，满足两个限制条件的方案数

我们发现如果我们限制第$1$个条件，有$A_{2^n-1}^{i-1}$，意思就是说对于前$i-1$个数从$[1,2^n-1]$中随便选，然后让第$i$个数选${\oplus }_{j=1}^{i-1}{a}_j$即可满足条件……等等，还没有结束。我们发现这样可能会出现第$i$个位置填$0$的情况，因此我们还要减去第$i$个位置填$0$，及$-d{p}_{i-1}$

然后我们考虑怎么减去第$2$个条件限制，我们设前$i-1$个数中有一个数$j$和$i$相同，则剩下$i-2$个数依然满足条件，因此我们要减去$d{p}_{i-2}\times (i-1)\times (2^n-1-(i-2))$，其中$2^n-1-(i-2)$的意思是第$i$个数和第$j$个数的可能的值的方案数

因此得到递推式：

$$d{p}_i=A_{2^n-1}^{i-1}-d{p}_{i-1}-d{p}_{i-2}\times (i-1)\times (2^n-1-(i-2))$$

最终答案即为$\frac{d{p}_m}{m!}$