CF1332E Height All the Same

原题

翻译

首先看到这题首先可以想到应该和奇偶性相关……

然后就没有一点思路了，遂看题解

首先，可以观察到结果和实际的高度无关，之和高度的奇偶性有关。

这个很好理解，因为我们可以用操作$2$使得在同奇偶性的数域内变化。

因此我们只考虑操作$1$

这里要知道一个结论：如果$a_{i,j}$为奇数的个数$cnto$或$a_{i,j}$为偶数的个数$cnte$中有一个是偶数，则一定有解；否则一定无解。

证明的话我们可以直到如果对个数为偶数的那些数进行操作$1$，则必然可以把他们都变成奇偶性相同的数，因此我们就可以直接进行操作$2$了

因此我们分情况讨论：

• 若$nm$为奇数，则显然无论怎么选，$a_{i,j}$中为奇数的或偶数的个数都一定有一个是偶数，因此答案就是

$$\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^m(R-L+1)=(R-L+1{)}^{nm}$$

直接跑一个快速幂即可

• 若$nm$为偶数，则我们要保证$a_{i,j}$中为奇数的个数和偶数的个数都为偶数才行，因此我们可以得到一个比较暴力的计算方法：

$$\sum _{i=0}^{\frac{nm}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{nm}{2i})O^{2i}{E}^{nm-2i}$$

其中$O,E$分别表示$[L,R]$中为奇数和偶数的数的个数

我们发现这个式子和什么很像？二项式定理！

$$\begin{array}{}\text{(1)}& (O+E{)}^{nm}& =\sum _{i=0}^{nm}(\genfrac{}{}{0ex}{}{nm}{i})O^i{E}^{nm-i}\text{(2)}& & =\sum _{i=0}^{\frac{nm}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{nm}{2i})O^{2i}{E}^{nm-2i}+\sum _{i=1}^{\frac{nm}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{nm}{2i-1})O^{2i-1}{E}^{nm-2i+1}\end{array}$$

但其中奇数的部分我们是不想被算的，我们要怎么去除呢？

还是二项式定理！

$$\begin{array}{}\text{(3)}& (O-E{)}^{nm}& =\sum _{i=0}^{nm}(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{nm}{i})O^i{E}^{nm-i}\text{(4)}& & =\sum _{i=0}^{\frac{nm}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{nm}{2i})O^{2i}{E}^{nm-2i}-\sum _{i=1}^{\frac{nm}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{nm}{2i-1})O^{2i-1}{E}^{nm-2i+1}\end{array}$$

因此我们发现有：

$$\sum _{i=0}^{\frac{nm}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{nm}{2i})O^{2i}{E}^{nm-2i}=\frac{(O+E{)}^{nm}+(O-E{)}^{nm}}{2}$$

最终复杂度$O(\log nm)$

$p.s.$这题有一个细节：当你WA on #57时，要知道快速幂里用欧拉定理时特判$a=0$的情况，如下数据：

998244352 2 1 998244353

其中$a^b=0^{998244352\times 2}\ne 0^0$，因此应该返回$0$