P4859 已经没有什么好害怕的了

原题

很好的一道容斥题

我们如果想让$a_i>b_i$的个数比$a_i<b_i$的对数多$K$，这个限制是比较困难的。因为我们要同时考虑两种情况

但我们可以把原问题的限定设为$a_i>b_i$的对数为$\frac{n+K}{2}$，做法就容易了很多。如果$n+K$是奇数，直接输出$0$即可

因此原问题变为了找一种配对方案，使得$a_i>b_i$的对数恰好为$k$

这个恰好的限制又过于严格，很明显不是我们想要的，因此我们考虑容斥原理。具体的，先求出$f_i$表示满足条件的配对对数$\ge i$的方案数，$g_i$表示满足条件的配对对数$=i$的方案数

容易得到以下规律：

$$f_i=\sum _{j=i}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})g_j$$

其中$(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})$我们从恰好对数$=j$的配对对数中选出$i$对来，剩下的当成随机匹配

根据二项式反演可得

$$g_i=\sum _{j=i}^n(-1{)}^{j-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})f_j$$

最终答案就是$g_{\frac{n+K}{2}}$，因此我们只需要求$f_i$的值即可，这是比较好求的

我们设$d{p}_{i,j}$表示前$i$个数，钦定了$j$个满足$a_p>b_p$的方案数

容易得到递推式：

$$d{p}_{i,j}=d{p}_{i-1,j}+(l{s}_i-j+1)\times d{p}_{i-1,j-1}$$

最后容易直到$f_i=d{p}_{n,i}\times (n-i)!$，其中$(n-i)!$表示未被匹配的随便分配的方案数

最终复杂度$O(n^2)$