P4071 [SDOI2016] 排列计数

原题

我们先从$n$个数里选$m$个数钦定这些数满足$a_i=i$，因此原问题就等于让$n-m$个数的排列满足$a_i\ne i$的排列方案数

先说一个错误的做法：设$d{p}_i$表示长为$i$的排列的方案数。我们每次枚举一个大小为$j$的环，可以得到递推式子：

$$d{p}_i=\sum _{j=2}^{i}d{p}_{i-j}\times (j-1)!\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})$$

其中$(j-1)!$为组成一个大小为$j$的环的方案数，$(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})$表示从$i$个排列中选$j$个，让他们组成环

我们发现这个是不对的，比如2 1 4 3，$(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})$会同时计算钦定环为2 1和4 3的情况，这很明显会重复。寄

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方法1：

正解做法：设$d{p}_i$表示长为$i$的排列的方案数。每次我们判断$n$这个数放在哪个位置：

1. 放在不是$n$所在位置的位置，让后把这个位置删掉(因为他已经被填数了，而且这次填数没有任何环构成)

2. 放在不是$n$所在位置的位置，并且这个位置的下标的数放在$n$这个位置(此时构成了一个环)

因此可以得出递推式：$d{p}_i=(i-1)\times d{p}_{i-1}+(i-1)\times d{p}_{i-2}$

思路总结：对于与环的个数有关的问题，递推式要考虑删掉环上一个没用的点或删掉一个大小为$2$的环的两种情况

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方法2：

设$f_i$表示有$\ge i$个$a_p=p$的方案数，$g_i$表示$=i$个$a_p=p$的方案数，可以发现计算$f_i$是非常容易的：$f_i=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\times (n-i)!$

可以发现\(f_i = \sum_{j=i}^{n}{\binom{j}{i} \times g_i\)，二项式反演(详情见之后写的博客)即可

$$g_i=\sum _{j=i}^n(-1{)}^{j-i}\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})\times f_i$$

$$\text{被xjk搏杀了，我tcl}$$