CF1559D1&D2 Mocha and Diana

原题(Eazy Version)

原题(Hard Version)

翻译

首先我们先考虑Eazy Version。容易发现，在$A,B$两个森林中一定有一个是一棵树。这个结论说明：

1. 选边顺序没影响

2. 能选就选

因此我们枚举$n^2$条边，用并查集判断连通性即可

最终复杂度$O(n^2\alpha (n))$或$O(n^{2}logn)$

---

然后我们考虑Hard Version怎么做。我们发现上面的做法我们多判断了很多条边。例如我们连接了$(x,y)$，则我们还会继续判断$(x,z)$，其中$z$和$x$在同一个连通块里。这是很不优的。因此我们考虑优化

首先我们先枚举连接所有能连接的边$(1,u)$，此时点分成了三类：

1. $1$在$A$图中和$u$联通，在$B$图中和$u$联通

2. $1$在$A$图中和$u$联通，在$B$图中和$u$不联通

3. $1$在$A$图中和$u$不联通，在$B$图中和$u$联通

我们把第二类节点和第三类节点所在的连通块里的任意一个节点分别划分在集合$L$和$R$中，容易发现$L\cap R=\mathrm{\varnothing }$，并且在$L$和$R$内的所有节点都是可匹配的。因为如果在$L$中有$x$和$R$中$y$不匹配，则说明在$A$图或$B$图中$x,y$在同一连通块内，因此$x,y$应该在同一集合中，假设不成立。

因此我们接下来的策略就是直接让$L$和$R$两两配对即可

最终复杂度$O(n\alpha (n))$或$O(n\log n)$