CF1864E Guess Game

原题

翻译

非常好的一道题，不过前半部分的逻辑推理比较难理解，这很博弈

由于或运算是有$1$就为$1$，因此我们对于一对数$(a,b)$，我们不需要看$a|b$中为$0$的那些位，因此我们只需要考虑$a|b$全$1$的情况即可

我们考虑一下如果$Alice$说"我不知道"说明什么？说明在$a$和$b$的二进制表示下，$a$最高位为$1$。否则如果$a$最高位为$0$，则$b$最高位一定为$1$，因此$Alice$一定可以推断出$a<b$

同理的，在第二轮$Bob$这里如果$b$的最高位为$0$，那他可以直接推断出$a>b$，因此如果$Bob$说"我不知道"说明$b$的最高位也为$1$。但是我们还要多考虑一点，如果$b$的最高位为$1$但次高位为$0$，那$Bob$也可以推断出$a>b$，因为$b$的次高位为$0$就说明$a$的次高位一定为$1$，也可以推断$a>b$。因此如果$Bob$说"我不知道"，就把$b$的最高位和次高位都为$1$的信息告诉了$Alice$

第三轮同理，$Alice$也可以判断$a,b$的大小关系，或通过说"不知道"来告诉$Bob$ $a$的次高位和次次高位为$1$……如此反复，直到一个人找到一位使得$a,b$中有一个数为$0$，或判断$a=b$

在发现这样的逻辑后，我们就可以通过$a$和$b$对每一位二进制枚举来求出操作轮数。

$$\{\begin{array}{ll}a=b& popcnt(a)+1\\ a<b& x+[x\mathrm{mod}2=0]\\ a>b& x+[x\mathrm{mod}2=1]\end{array}$$

其中$x$表示$aandb$在二进制下最高位$0$的位置(肯定是不算前导$0$的)，$popcnt(x)$表示$x$二进制下$1$的个数

于是我们就可以得到一个$O(n^2\log V)$的一个做法：暴力枚举选哪两个数，然后在对他们的二进制暴力找到$x$

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方法1：$01trie$

显然看到二进制的题我们首先能想到$01trie$这个东西

我们把所有的数都加入$01trie$中，枚举一个数$s_i$作为被选择的$a$，然后看有多少个$b$满足$b<a$，然后计算答案即可

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方法2: 分治

对于二进制按位贪心的题我们也可以考虑分治。与其说是分治，不如说是一种$01trie$，但他的特点是没有把树真正的建出来，而是用递归树来代替

我们对于所有的$s_i$从高位往低位考虑，对于当前这一位，我们把它分成这一位为$0$和$1$的部分，分别递归计算贡献，在合并的时候这一位为$0$的显然能对为$1$的产生贡献

最后再除以总方案数极为要求的答案