CF896B Ithea Plays With Chtholly

原题

翻译

Chtholly可爱捏

我们先考虑如果$n\cdot c\le m$我们要怎么做，我们可以发现里面一定存在一个数出现了$\ge \lceil \frac{m}{c}\rceil$，不妨设这个数为$x$，因此我们只需要把所有数都改成$x$就可以了

等等好像不对，我们一开始并不知道这个数是什么，我们只能一个一个加，这要怎么办呢？

于是我们想到了一个策略：对于当前读入的数$k$，在$a_i$中从左到右便利每一个数，找到最左边的$a_i>k$或$a_i=0$的位置，并把这个位置修改成$k$

这个做法是可以保证构造出长度$\ge \lceil \frac{m}{c}\rceil$的解的，理由如下：

1. 若读入的$k=x$，则构造的长度显然$\ge \lceil \frac{m}{c}\rceil$

2. 若读入的$k>x$，则若$k$出现在$x$后面，只会让答案增加而不减少；反之，他会被后面的$x$覆盖掉，构造的长度显然$\ge \lceil \frac{m}{c}\rceil$

3. 若读入的$k<x$，则若$k$出现在$x$前面，只会让答案增加而不减少；反之，他会替换掉最前面一个$x$，对长度没有影响，构造的长度显然$\ge \lceil \frac{m}{c}\rceil$

因此我们只需要按照这个构造方案就必然可以构造一个长度$\ge n$的答案

---

我们再回到原问题，考虑$n\cdot \lceil \frac{c}{2}\rceil \le m$我们要怎么处理

我们使用同样的思路，把数分成$\le \lfloor \frac{c}{2}\rfloor$和$>\lfloor \frac{c}{2}\rfloor$部分，分别处理，同理可以证明正确性：

设$\le \lfloor \frac{c}{2}\rfloor$的数的个数为$k$，则$>\lfloor \frac{c}{2}\rfloor$的个数为$m-k$

容易推出：

$$\lceil \frac{k}{\lfloor \frac{c}{2}\rfloor }\rceil +\lceil \frac{m-k}{\lfloor \frac{c}{2}\rfloor }\rceil \ge \lceil \frac{2k}{c}\rceil +\lceil \frac{2(m-k)}{c}\rceil \ge \lceil \frac{2m}{c}\rceil \ge n$$

最终复杂度$O(n^2)$，用数据结构可以优化到$O(nlogn)$(但没必要)