P4042 [AHOI2014/JSOI2014] 骑士游戏

原题

非常好的一道题，用到了一个重要的思路：消除 $d p$ 的后效性

不要觉得这个东西很恐怖，其实这个东西并不复杂，只是名字有点吓人

我们容易想到对把原题抽象成一个图，我们容易想到如果该图为 $D A G$ 我们要怎么做，直接拓扑上 $d p$ 即可

但回到原题，我们发现 $d p$ 就有了一些问题：这个题是有环的，我们对于一个环上的 $d p$ 我们无法知道先更新哪一个值，换言之这个 $d p$ 是有后效性的。

但我们同时也想到在这个环上一直绕，对答案来说一定是不优的(这里只是感性理解)，但我们并不知道这个绕的策略是什么，因此这个问题让我们很难办

这里有一个重要的思路：消除 $d p$ 后效性的方法：

先计算部分信息，再通过其他的 $d p$ 加加减减，合并到当前信息去：换根 $d p$ 就是这个思路
如果对于一个 $d p$ 出现如果 $d p_{u}$ 更新 $d p_{v}$ ，则 $d p_{v}$ 更新 $d p_{u}$ 绝对不优，则我们改变 $d p$ 顺序，再直接 $d p$

这题用的是第二个思路

我们写出 $d p$ 柿子，设 $d p_{u}$ 表示杀死 $u$ 点怪兽消耗的最少体力值：

容易得到递推：

d p_{u} = min (K_{u}, S_{u} + \sum_{i = 1}^{R_{u}} d p_{v_{i}})

我们发现什么，我们发现后面这个柿子就满足第二个方法，因为如果存在 $d p_{v_{i}} \leq d p_{u}$ ，则我们一定不会用 $d p_{v_{i}}$ 来更新

因此我们让 $d p_{u}$ 值初始为 $S_{u}$ ，并把所有 $K_{u}$ 的值放到一个堆中，每次用最小的 $d p_{u}$ 值去更新所有指向他的点的、满足 $d p_{u} \leq d p_{v}$ 的 $d p$ 值。如果有一个点的 $d p$ 值被更新完了，就把 $d p_{u}$ 放到堆中。这个做法是正确的

如果在 $d p_{u}$ 更新完之前使用了 $K_{u}$ 更新其他的点，则说明更新 $d p_{u}$ 一定要用到 $\geq K_{u}$ 的 $d p$ 值的点来更新，因此 $K_{u} < d p_{u}$ ，用 $d p_{u}$ 更新一定不优
如果在 $d p_{u}$ 更新完后放到了堆中，但使用了 $K_{u}$ 更新其他的点，则说明 $K_{u} \leq d p_{u}$ ，同理
如果在 $d p_{u}$ 更新完后放入了堆中，且使用了 $d p_{u}$ 更新其他的点，则说明 $K_{u} \geq d p_{u}$ ，这么做也是不劣的

通过这三种情况，就可以说明这个做法是正确的

最终复杂度 $O (n l o g n + \sum R_{i})$

$p . s .$ ，其实这个思路就是跑 $d i j k s t r a$ ，在上面 $d p$ 是同一个思路，但 $d i j k s t r a$ 的朴素复杂度为 $O (m l o g m)$ ，但这个题可以保证每个点只在堆中出现一次，因此复杂度可以在包括 $n$ 的复杂度

$p . s . s$ ，感谢 $x j k$ 提供的解答，使用 $d i j k s t r a$ 上跑 $d p$ 的前提是这个 $d p$ 是有贪心性质的，否则需要使用 $s p f a$ 。，如这题如果把 $S_{u} + \sum d p_{v_{i}}$ 改成 $S_{u} + min d p_{v_{i}}$ ，这样 $d i j k s t r a$ 显然就不太可做了。