CF1266D

原题

翻译

其实这题的翻译反而不如原题好理解，建议先阅读原题后重新思考做法

---

 
 
 
 
 
 
 
 
 

$$\text{分割线}$$

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

翻译把原来简单的东西复杂了

原题的题意是有若干个三元组$(x,y,z)$表示$x$欠$y$ $z$元钱

然后让你重新整理债务关系使得金钱交易量最小

---

我们发现我们把问题转换成欠钱和还钱的问题后，我们就可以思考一个东西了

我们平时欠钱还钱时，并不在乎是谁欠我们或是还给我们的，我们只在乎我们应该得到/失去多少钱

因此我们设$i{n}_u$表示连向$u$点的边的边权和(即要收取$i{n}_u$元)，$ou{t}_u$表示从$u$连向别的点的边的边权和(即欠了别人$ou{t}_u$元，要换出去)，则可以得到这个人的有效金钱交易量为$i{n}_u-ou{t}_u$

我们得到这个后就很好考虑了，我们确定了每个人金钱交易量的下界，而且这个下界是始终可以取到的，一种构造方法就是始终让$i{n}_u-ou{t}_u$为负的人给值为正的人钱，这种操作一定是不劣的

为什么呢？因为每个借给别人钱的人不管是分成多次，还是一次拿完，至少都会对交易量造成$i{n}_u-ou{t}_u$的贡献。因此不存在更优的解法。

此外，这种方式一定是合法的。一个人借出去了$i{n}_u-ou{t}_u$块钱，拿回来了$i{n}_u-ou{t}_u$块钱，相当于债务清零。

最终复杂度$O(n)$