P6046 纯粹容器

原题

期望不要光往$dp$想!!!

期望不要光往$dp$想!!!

期望不要光往$dp$想!!!

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对于每一个数$a_i$分别考虑，$E(t_i)$表示$i$的期望删除轮数；$P(t_i=x)$表示$i$恰好在第$i$轮删除的概率，容易得到：

$$E(t_i)=\sum _{x\ge 1}x\times P(t_i=x)$$

容易发现可能使$i$被删除的只有前面距离最近的$a_x>a_i$的位置和后面距离最近的$a_x>a_i$的位置，我们设这两个位置下标分别为$pre$和$suf$

我们可以$O(n)$暴力计算$P(t_i=x)$的值：

$$P(t_i=x)=\frac{x!\times (\sum _{j+k=x-(i-pre),j<suf-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-pre}{i-pre-1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{suf-i}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1-(suf-pre)}{k})+\sum _{j+k=x-(suf-i),j<i-pre}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-pre}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{suf-i}{suf-i-1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1-(suf-pre)}{k}))}{x!\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{x})}$$

这个做法复杂度是$O(n^3)$的

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我们明显可以感到这个式子不太对劲对吧，感性来说，因为有$t_i=x$的限制，我们必须保证第$x$轮$i$必须被删掉，这个限制似乎成了一种累赘，拉大了计算$P(t_i=x)$的复杂度

我们这时候要用一个比较经典的转化：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& E(t_i)& =\sum _{x\ge 1}x\times P(t_i=x)\text{(2)}& & =\sum _{x\ge 1}P(t_i\ge x)\end{array}$$

其中$P(t_i\ge x)$表示$i$消失的轮数$\ge x$的概率

这时候虽然计算$P$的复杂度还是不太对，但我们感觉起来就比较舒服了：

$$P(t_i\ge x)=\frac{x!\times \sum _{a+b+c=x,a<(i-pre),b<(suf-i)}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-pre}{a})(\genfrac{}{}{0ex}{}{suf-i}{b})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1-(suf-pre)}{c})}{x!\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{x})}$$

这个做法复杂度是$O(n^4)$

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虽然式子变得优美了，但这个复杂度不是我们想要的，因此我们考虑怎么优化复杂度

正难则反，我们考虑能不能计算$P(t_i<x)$的概率，则$P(t_i\ge x)=1-P(t_i<x)$

记$P(A)$为$pre\sim i$这一段全部被选的概率，$P(B)$表示$i\sim suf$这一段全部被选的概率;$P(AB)$表示$pre\sim suf$这一段全部被选的概率

我们发现这个比较好做，因为$t_i<x$说明$pre\sim i$和$i\sim suf$中有一个选了，这个可以用容斥原理解决；

$$\begin{array}{}\text{(3)}& P(t_i<x)& =P(A)+P(B)-P(A+B)\text{(4)}& & =\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1-(i-pre)}{x-(i-pre)})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{x})}+\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1-(suf-i)}{x-(suf-i)})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{x})}-\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1-(suf-pre)}{x-(suf-pre)})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{x})}\text{(5)}& & =\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1-(i-pre)}{x-(i-pre)})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1-(suf-i)}{x-(suf-i)})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1-(suf-pre)}{x-(suf-pre)})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{x})}\end{array}$$

复杂度$O(n^2)$

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貌似还有$O(n)$做法