P6862 [RC-03] 随机树生成器

原题

首先考虑$dp$的朴素做法，设$d{p}_i$表示$i$个点的树时的答案

容易得到：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& d{p}_K& =\{\begin{array}{ll}(K-1)!& (K\ne 1)\\ 0& (K=1)\end{array}\text{(2)}& d{p}_i& =d{p}_{i-1}\times (i-1)+(i-2)!\end{array}$$

其中$(i-2)!$表示$i-1$个点的满足题目构造条件的树的方案数

这么做的复杂度为$O(Tn)$，显然过不了，也没发现什么明显的优化方法，寄

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我们转念一想，发现这个题目似乎如果换成计算期望的话会好做非常多

首先还是先考虑期望时的$dp$做法，设$d{p}_i$表示$i$个点的树时的答案

容易得到：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& d{p}_K& =[K\ne 1]\text{(4)}& d{p}_i& =d{p}_{i-1}+\frac{1}{i-1}\end{array}$$

我们发现这个很好优化，明显可以写成通向公式：

$$\begin{array}{}\text{(5)}& E& =\sum _{K+1}^n\frac{1}{i-1}+1\text{(6)}& & =\sum _K^{n-1}\frac{1}{i}+1\end{array}$$

我们只需要预处理出$\sum \frac{1}{i}$的前缀和即可

但还没有结束，因为我们要求的并不是期望，而是答案之和

但是可以知道$E=\frac{sum}{cnt}$，其中$sum$表示答案之和，$cnt$表示方案数

因此我们可以得出$sum=E\times cnt$，我们再考虑答案个数怎么求

显然，答案个数就是构造$n$个点的树的方案数，即$(n-1)!$

因此我们只需要预处理出阶乘和逆元的前缀和即可$O(1)$查询

总复杂度$O(n+T)$