P3802 小魔女帕琪

原题

很有创新的一道题

我们设$n=\sum _{i=1}^7{a}_i$。考虑一下如果我们第$1$到$7$选的数的顺序$S=\{1,2,3,4,5,6,7\}$，那我们的概率：

$$P(S)=\prod _{i=1}^7\frac{a_i}{n-i+1}$$

首先我们容易发现如果$S$的顺序不同，那他的概率是不变的。因此$7$次操作触发一个“七重奏”的概率为：$7!\times \prod _{i=1}^7\frac{a_i}{n-i+1}$

我们再考虑第$2$到$8$次操作触发一个“七重奏”的概率，我们可以先枚举第$i$个位置是什么，然后再用同样的方法计算$2$到$8$构成“七重奏”的方案。可以得到柿子：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \sum _{i=1}^7(7!\times \frac{a_i}{n}\times \prod _{j=1,j\ne i}^7\frac{a_j}{n-j}\times \frac{a_i}{n-i})& =\frac{7!\times \prod _{i=1}^7{a}_i\times \sum _{i=1}^7(a_i-1)}{\prod _{i=0}^7(n-i)}\text{(2)}& & =\frac{7!\times \prod _{i=1}^7{a}_i\times (n-7)}{\prod _{i=0}^7(n-i)}\text{(3)}& & =\frac{7!\times \prod _{i=1}^7{a}_i}{\prod _{i=0}^6(n-i)}\text{(4)}& & =7!\times \prod _{i=1}^7\frac{a_i}{n-i+1}\end{array}$$

我们惊奇的发现$2$到$8$组成“七重奏”的概率和$1$到$7$组成“七重奏”的概率相同。同样的，你也可以用类似的方法证明第$i$到$i+6$组成“七重奏”的概率同样不变，因此最终答案为：

$$\begin{array}{}\text{(5)}& E(x)& =\sum _{i=7}^n{x}_i{p}_i\text{(6)}& & =\sum _{i=7}^{n}1\times 7!\times \prod _{i=1}^7\frac{a_i}{n-i+1}\text{(7)}& & =7!\times (n-6)\times \prod _{i=1}^7\frac{a_i}{n-i+1}\end{array}$$

最终复杂度$O(1)$