P4316 绿豆蛙的归宿

原题

这篇帖子主要解释为什么正推和倒推有区别，如果想询问做法，请移步至洛谷题解区

倒推：$d{p}_i$表示从$i\to n$的期望距离，$de{g}_u$表示$u$点出度

$$d{p}_u=\sum _{(u,v,w)\in E}\frac{d{p}_v+w}{de{g}_u}$$

正推：$d{p}_i$表示从$1\to i$的期望距离，$g_i$表示$1\to i$的概率，$de{g}_u$定义同上

$$d{p}_u=\sum _{(v,u,w)\in E}\frac{(d{p}_v+w)\times g_v}{de{g}_v}$$

解释一下为什么正推会乘上一个系数$g_v$

倒推：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& E(v)& =\sum p_i{x}_i\text{(2)}& E(u)& =\sum p_i(x_i+w)\text{(3)}& & =\sum p_i{x}_i+\sum p_{i}w\text{(4)}& & =E(v)+w\end{array}$$

因为从$i$走到$n$的概率之和为1

正推：

$$\begin{array}{}\text{(5)}& E(u)& =\sum p_i{x}_i\text{(6)}& E(v)& =\sum p_i(x_i+w)\text{(7)}& & =\sum p_i{x}_i+\sum p_{i}w\text{(8)}& & \ne E(v)+w\end{array}$$

因为从$1$走到$i$的概率之和不为1

因此扩展到一般情况，当在$DAG$上处理关于期望/概率的问题时，我们要先思考倒着做，因为这样可以多一个保证$\sum p_i=1$的限制条件